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汤家凤1800题第八章入门第16题：

求$\iint_{D}^{}{y·dxdy}$，其中D是由摆线参数方程与x轴围成的区域。

首先这个L是摆线的图像：
摆线

摆线是圆在滚动的过程中，圆周上一点的运动轨迹。

对于这道题，想要求出摆线的直角坐标方程是不现实的，应该使用参数方程求解。

首先按照题中所给的D区域将$\iint_{D}^{}{y·dxdy}$展开如下：

$\iint_{D}^{}{y·dxdy}$ = $\int_{0}^{2 \pi a}dx \int_{0}^{y(x)}y·dy$

此处，将摆线的直角坐标公式$y=y(x)$视作一个待定的x的表达式，第一步对y积分的结果如下：

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi a} {y^2(x)}·dx$

此时，将题中所给的摆线的参数方程带入，得到：

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi a} {a^2 (1-cos(t))^2}·dx$

此外，$dx = {a(1-cos(t))}·dt$

故$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi a} {a^2 (1-cos(t))^2}·dx$ = $\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} {a^3 (1-cos(t))^3}·dt$

得到最终的结果为$\frac{5}{2} \pi a^3$

学到的知识点：积分区域D以参数方程的形式给出时，可以先将其用待定的$y=y(x)$作为积分上下限，最后一步积分时再将其转化为参数方程带入，最后对参数 t 积分即可。

顺便，一个有趣的性质：摆线方程中$\frac{dx}{dt} = y(t)$