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计算 $\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+sin(\pi\sqrt{4n^2+2}))^n}$

正文

一眼 $1^\infty$ 型。
先将其按照 $1^\infty$ 的形式化简：

由于 $\lim_{n \rightarrow \infty}{sin(\pi\sqrt{4n^2+2})}=0$ ，

原式= $ \lim_{n \rightarrow \infty}{(1+sin( \pi \sqrt{4n^2+2}))^{\frac{1}{sin( \pi \sqrt{4n^2+2})}n sin( \pi \sqrt{4n^2+2})} } $
  = $e^{\lim_{n \rightarrow \infty}{n sin(\pi\sqrt{4n^2+2})} }$

然后卡在这里了。本来想用洛必达法则计算一下 $\frac{sin(\pi\sqrt{4n^2+2})}{\frac{1}{n} }$，但是计算结果是 $-\frac{4 \pi n^3}{\sqrt{4n^2+2} }$ 感觉不太对劲，于是去参考大佬的思路学了一手（

学到的知识点： $sin(x) = \lim_{n \rightarrow \infty}{sin(x-2 \pi n)}$
有了这条规律，就可以将 $\lim_{n \rightarrow \infty}{sin(\pi\sqrt{4n^2+2})}$ 转化为：

$\lim_{n \rightarrow \infty}{sin(\pi\sqrt{4n^2+2})}$ = $\lim_{n \rightarrow \infty}{sin(\pi (\sqrt{4n^2+2}-2n))}$

而 $\sqrt{4n^2+2}-2n$ = $\frac{2}{\sqrt{4n^2+2}+2n}$ （分子有理化）

于是 $\lim_{n \rightarrow \infty}{sin(\pi\sqrt{4n^2+2})}$ = $\lim_{n \rightarrow \infty}{sin(\frac{2 \pi}{\sqrt{4n^2+2}+2n})}$
  =$\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{2 \pi}{\sqrt{4n^2+2}+2n} }$ （等价无穷小）

于是 $e^{\lim_{n \rightarrow \infty}{n sin(\pi\sqrt{4n^2+2})} }$ = $e^{\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{2 \pi n}{\sqrt{4n^2+2}+2n} } }$
  = $e^{\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{2 \pi n}{4n} } }$
  = $e^{ {\frac{\pi}{2} } }$

顺带一提，石墨文档自带的公式编辑器针不戳啊）

勘误

2021.7.8勘误
$\lim_{n \rightarrow \infty}{(1+sin(\pi\sqrt{4n^2+2}))^n}$中的n是整数
所以可以使用$sin(x) = \lim_{n \rightarrow \infty}{sin(x-2 \pi n)}$这一规律

不是，你不说谁知道n是整数啊（恼
看了人家的解析还以为学到了新知识点（